воскресенье, 6 ноября 2011 г.

Выходной воскресение, время экономики

Выходной, моя девушка, делала экономику, решил составить ей компанию. Задачка простая.
Функция инвестиций (I) задана формулой I=10-2*i (i-процентная ставка);
функция сбережений (S) выражена формулой: S=0,1*Y-2 (Y-доход);
функция трансакционного спроса (делового спроса на деньги): M_t=0,2*Y;
функция спекулятивного спроса на деньги: M_a=12-4*i.
При условии, что предложение денег равно M_s=6 трлн. долл. найти равновесные процентную ставку и доход. Как изменится равновесие если функция инвестиций примет вид: 24-2i, а спекулятивный спрос: 12-i?

Скажу, честно долго вкурить не мог, как это решать, пока не наткнулся на следующий ресурс. В итоге все оказалось просто как 2x2. Берем и приравниваем I=S, а M_s=M_t+M_a=6 Распишем эти два равенства: 10-2i=0.1Y-2
и второе равенство: 0.2Y+12-4i=6
Что общего между этими уравнениями? В них по две переменные при том одни и те же!!! И если мой блог читают экономисты, то понятно, что рисуется график. i(Y), на котором мы рисуем две прямые IS и L_m.

Уравнение кривой IS это уравнение: 10-2*i=0.1*Y-2
Из которого выражаем i=(0.1*Y-2 - 10)/(-2)=5-0.05*Y+1=6-0.05*Y
Или можем выразить Y=(10-2*i+2)/(0.1)=(12-2*i)*10=120-20*i.
Из уравнения мы видим, что графиком является прямая, а для построения оной, нужно всего две точки. Теперь найдем эти 2 точки по которым построим график функции IS:

10-2*i=0.1*Y-2;
i=(0.1*Y-2-10)/(-2);
Пусть Y=0, тогда i=(0.1*0 - 12)/(-2)=6
Пусть i=0, тогда
0=(0.1*Y-12)/(-2)=6-0.05*Y
0.05*Y=6
Y=6/0.05=120
Имеем две точки
(Y1;i1)=(0;6)
(Y2;i2)=(120;0)

Запишем уравнение L_m: 0.2*Y+12-4*i=6.
Как видно из уравнения график этой функции, тоже представляет из себя прямую. Теперь найдем две точки, для построения функции L_m:

Выразим i=(6-0.2*Y-12)/(-4).
Пусть Y=0, тогда i=(6-0.2*0-12)/(-4)=(-6)/(-4)=1.5
Получаем, что первая точка (0;1.5). Найдем вторую точку.
Пусть i=0, тогда
0=(6-0.2*Y-12)/(-4)=(-6-0.2*Y)/(-4)=1.5+0.05*Y
0.05*Y=-1.5
Y=-1.5/0.05
Y=-30
Получили вторую точку (-30;0).

Построим график:
На графике, как не сложно догадаться зеленая линия это L_m, а синяя линия это IS.

Найдем точку равновесия. Так как я не люблю графический метод решения найдем аналитически:

Есть уравнение для L_m: i=(6-0.2*Y-12)/(-4);
и для IS: i=(0.1*Y-2-10)/(-2).
Приравняем их.
(6-0.2*Y-12)/(-4)=(0.1*Y-2-10)/(-2);
(-6-0,2*Y)/(-4)=(0.1*Y-12)/(-2)
(-6-0,2*Y)/2=(0.1*Y-12)
-3-0,1*Y=0.1*Y-12
0.2*Y=-3+12=9
Y=9/0.2=45
Теперь подставим значение Y равновесия в любое уравнение для i:
i(45)=(0.1*45-12)/(-2)=6-0.05*45=3.75
Координаты точки равновесия IS и L_m (Y=45; i=3.75).

Осталось ответить на еще один последний вопрос!
Как изменится равновесие если функция инвестиций примет вид: 24-2i, а спекулятивный спрос: 12-i?
Повторим все действия проделанные выше:
Равенство для IS: 24 - 2*i = 0,1*Y - 2
Выразим i:
- 2*i = 0,1*Y - 2-24=0.1*Y-26;
i = (0,1*Y - 26) / (- 2)=13-0.05*Y;
Как мы видим графиком остается прямая, по этому ищем две точки для построения графика IS.
Пусть Y=0, тогда i(0)=13-0.05*Y=13-0.05*0=13.
Имеем первую точку (0; 13).
Найдем вторую точку.
Пусть i=0 тогда
0=13-0.05*Y;
0.05*Y=13;
Y=260;
Вторая точка имеет координаты (260; 0)
Найдем уравнение для L_m из равенства M_s = M_t + M_a.
0.2*Y+12-i=6
Выразим i:
i=0.2*Y+12-6=0.2*Y+6;
Из уравнения видим, что графиком является прямая. Найдем две точки для построения графика.
Пусть Y=0, тогда i(0) = 0.2 * Y + 6 = 0.2 * 0 + 6 = 6
Первая точка есть (0; 6), найдем вторую.
Пусть i=0, тогда
0 = 0.2 * Y + 6;
0.2 * Y = -6;
Y = -6 / 0.2 = -30;
Получили вторую точку (-30; 0).
Построим график.
Точку равновесия найдем аналитически. Приравняв уравнение IS=L_m.
13-0.05*Y=0.2*Y+6;
0.2 * Y + 0.05 * Y = 13 - 6;
0.25 * Y = 7;
Y = 7 / 0.25 = 28;
i(28) = 0.2*Y+6 = 0.2*28+6 = 5.6 + 6 = 11.6;
Сравним с равновесием полученным до этого (Y=45; i=3.75) и только
что полученные (Y=28; i=11.6), как мы видим, увеличился процент в 3 раза, а доход уменьшился, 1.6 раз.
Все задачка решена! :)

Комментариев нет:

Отправить комментарий